Question

（2014•天津二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=9-an，bn=3-2log3an．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）：由2S n=9-a n仿写出2S n-1=9-a n-1，两式相减得到，判定出数列{a n}是以3为首项，[1/3]为公比的等比数列，利用公式求出数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）由9Ⅰ）求出c n==，利用错位相减求出数列{c n}的前n项和T n；
（Ⅲ）利用数列单调性的定义，判定出数列{a 2nb n}为单调递减数列；求出数列的最大值为 a 2b 1，证明出不等式．

解（Ⅰ）：∵数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=9-an①，
∴n≥2时，2Sn-1=9-an-1②，
①-②得2an=-an+an-1（n≥2），
∴an＝
1
3an−1(n≥2)
又∵n=1时2S1=2a1=9-a1，
∴a1=3
∴数列{an}是以3为首项，[1/3]为公比的等比数列，
∴an＝3•(
1
3)n−1＝32−n；
bn=3-2log3an=2n-1，
∴{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝32−n，bn＝2n−1
（Ⅱ）∵=
b n
a n=[1/9(2n−1)×3n，
∴Tn＝
1
9[1×31+3×32+…+(2n−3)×3n−1+（2n-1）×3n]③
3Tn＝
1
9[1×32+3×33+…+(2n−3)×3n+（2n-1）×3n+1]④
③-④得−2Tn＝
1
9[1×3+2(32+33+…+3n)-（2n-1）×3n+1]
=
1
9[3+
18(1−3n−1)
1−3−(2n−1)×3n+1]
=
1
3[(2−2n)3n−2]
∴Tn＝(n−1)•3n−1+
1
3]
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知a2nbn=9×(
1
3)2n×(2n−1)
∵a2（n+1）bn+1-a2nbn=9(
1
3)2n+2×(2n+1)−9(
1
3)2n×(2n−1)=(
1
3)2n(10−16n)＜0
∴数列{a2nbn}为单调递减数列；
∴当n≥2时，a2nbn

点评：
本题考点： 数列的求和；数列与函数的综合．

考点点评： 此题考查已知数列的递推关系求出数列的通项公式的知识点，属于中档题．准确运用等差、等比数列的通项与求和公式，利用错位相减法求和，是解决本题的关键．