Question

高等数学概率论问题

设随机变量X和Y在圆x^2+y^2≤1上均匀分布，则（ ）

A.
X在区间[-1,1]上均匀分布

B.
X和Y互不相关

C.
Y在区间[-1,1]上均匀分布

D.
X和Y相互独立

请问这道题的意思究竟是二维均匀分布还是X和Y各是一维均匀分布？感觉他的表述不是很好，如果是X和Y各是一维均匀分布的话，那选项A和C不是白问了嘛，所以应该是二维均匀分布，那这道题究竟如何解答呢？求详解，万分感谢！！！

还有二维均匀分布能推X和Y都服从一维均匀分布嘛？什么条件下能？什么条件下不能？求详解，万分感谢！！！

Answer 1

B
二维均匀分布。p(x,y)=1/π ，x^2+y^2≤1；p(x,y)=0，
其他知识点：
①由联合密度，求边际密度的方法本题pX(x)=2/π *根号(1-x^2)，|x|≤1；pX(x)=0，其他
Y同理（x改成y）；
②既然是选择题，
小想法
1°：不相关其实是不线性相关，x^2+y^2=1时，在圆周上，X和Y怎么呈线性关系（为圆）？即线性无关
2°：排除法，由边际密度知X、Y不服从均匀分布，且pX(x)*pY(y)≠p(x,y)，∴X、Y不相互独立
③不相关即相关系数r=0等价于Cov(X,Y)=0等价于EXY=EX*EY等价于Var(X+Y)=VarX+VarY，这里用EXY=EX*EY，就算一个积分嘛，其实一看就出来了，
XY密度：pXY(X,Y)=4/π^2 *根号(1-x^2)*根号(1-y^2)，
则EXY=∫[-1,1] dx ∫[-1,1] x*y*4/π^2 *根号(1-x^2)*根号(1-y^2) dy，此积分可分离，即得到EX*EY的表达式，即EXY=EX*EY

二维均匀分布不能推X和Y都服从一维均匀分布，本题就是例子
当两分量相互独立时，可推出，（即充分条件）。
因为相互独立意味着联合密度可分离变量(X密度*Y密度)，区域的话必须是直积形式（矩形区域）
对于均匀分布，应该是矩形区域，此时p≠0的地方是有x和y分离的不等式给出的，如-1≤x≤1，-1≤y≤1，注意不能是-1≤x≤y≤1这种类型，这种x，y又不独立了。

最后，多总结，记住具体问题具体分析，有些东西也不能一味套用（我刚说的可能有不足的地方）