Question

求证：2005²+2005²×2006²+2006²是一个完全平方数。

Answer 1

=2005²+（2005²+1）x（2005²+2005x2+1）
=2005²+2005^4+2005²+2x2005^3+2005x2+2005²+1
=2005^4+2x2005^3+3x2005²+2x2005+1
令原式=（2005²+a）²=2005^4+2a2005²+a²
只需存在正整数a使得2x2005^3+3x2005²+2x2005+1=2a2005²+a²
即a²+2a2005²-2x2005^3-3x2005²-2x2005-1=0
又令a=2005+b，则化为2005²+2bx2005+b²+2x2005^3+2bx2005²-2x2005^3-3x2005²-2x2005-1=0
即2bx2005+2bx2005²+b²-2x2005²-2x2005-1=0
（2x2005²+2x2005）b+b²=2x2005²+2x2005+1
这样的正整数b=1，也即这样的正整数a=2006，因此该数是一个完全平方数。

Answer 2

题：x=2005,求证x^2+x^2*(x+1)^2+(x+1)^2是完全平方数。
证：令y=x(x+1), 于是
x^2+x^2*(x+1)^2+(x+1)^2
=y^2+2x^2+2x+1
=y^2+2y+1
=(y+1)^2
得证。

Answer 3

a^2 a^2*(a 1)^2 (a 1)^2. =a^2 a^2(a^2 2a 1) a^2 2a 1. =a^2 a^4 2a^3 a^2 a^2 2a 1. =a^4 2a^3 3a^2 2a 1. =a^4 2a^3 3a^2 2a 1 =a^4 2a^3 a^2 2a^2 2a 1 =a^2(a^2 2a 1) 2a(a 1) 1 =a^2(a 1)^2 2a(a 1) 1 =[a(a 1) 1]^2 =(a^2 a 1)^2 将a=2005代入， 即原式=(2005^2 2005 1)^2. 从而证明，此式是一个完全平方数