Question

高等数学概率论问题

设随机变量X的概率密度如图所示,则X与X的绝对值的相关情况与独立情况是怎么样的?

我已经求出他们是不相关的,请问他们的独立情况如何判断呢?求详解,万分感谢!!!

Answer 1

两个随机变量X, Y独立的条件是P(X ≤ a, Y ≤ b) = P(X ≤ a)P(Y ≤ b).
对此例Y = |X|, 很容易否定这一点.
例如a = -2, b = 1, 易见有P(X ≤ -2, |X| ≤ 1) = 0, 但P(X ≤ -2)P(|X| ≤ 1) > 0.

追问

您好,感谢您的回答,请问一下,如果不用特例法,能不能证明他们之间是不独立的呢?万分感谢!!!

追答

这个其实不算特例法.
一般所指的特例法, 是对一个普遍成立的结果用特例去试探结果.
例如已知a+b = 0, 求a^3+b^3.
取特例a = b = 0, 可以猜出结果为0.
但是这是不严格的, 因为没有证明a^3+b^3的值不会改变.

这里的情况是不同的, 是为了否定一个全称命题而举出一个反例.
例如"所有奇数都是质数", 9就是反例.
这是否定全称命题的主要方法.

X, Y独立的条件是:
对任意a, b, 成立P(X ≤ a, Y ≤ b) = P(X ≤ a)P(Y ≤ b).
那么否定它只需找到一组a, b使上式不成立.
这就是严格的逻辑, 不是猜测.

追问

嗯嗯,那请问撇开这道题不谈,给你一个一维随机变量的概率密度函数,问你X与X的绝对值是否独立,要怎么样去证明呢?(如果答案是独立的话)

追答

要证明X, Y独立的话就是去证明P(X ≤ a, Y ≤ b) = P(X ≤ a)P(Y ≤ b)了.
这个就是计算两边的值, 证明相等(对任意a, b).
只要知道X, Y的联合密度函数就行.

X和|X|的话稍微有点问题, 联合密度函数是不存在的(就像许多离散分布一样).
不过P(X ≤ a, |X| ≤ b)还是一样可以计算的.
只要在条件X ≤ a, |X| ≤ b所对应的区间上积分即可(需要对a, b分类讨论).

话说回来, 几乎没有随机变量使X与|X|是独立的.
首先, 存在b ≥ 0使P(|X| ≤ b) > 0.
取a = b, 由独立条件有P(X ≤ b, |X| ≤ b) = P(X ≤ b)P(|X| ≤ b).
而P(X ≤ b, |X| ≤ b) = P(|X| ≤ b) > 0. 故P(X ≤ b) = 1.
又由独立条件的变式, 有P(X 0, 有P(|X| = c) = 1, |X|恒为c.

概率为1的事件以及概率为0的事件与其他事件都是独立的.
因此这两种情况下X与|X|独立.