Question

实数x,y满足x2+xy+y2=3(x+y+3),则x2+y2的最大值为( ) 初中竞赛题

Answer 1

答案应该是27。

设u=x+y, v=xy。

则(x+y)²-xy=3(x+y+3)，得v=u²-3u-9。

则x²+y²=(x+y)²-2xy=u²-2v=-u²+6u+18=-(u-3)²+27<=27。

取到27时，u=3，v=-9，由韦达定理代入方程z²-3z-9=0，容易求得x=3(1+√5)/2，y=3(1-√5)/2，确实也有实数解。

这种2次的x和y对称式的题目，上面是很典型的做法。

Answer 2

实数x,y满足x²+xy+y²=3(x+y+3),则x²+y²的最大值为( )
解：由x²+xy+y²=3(x+y+3)得(x+y)²-xy=3(x+y+3)，故xy=(x+y)²-3(x+y+3)；
又x²+y²=(x+y)²-2xy=(x+y)²-2[(x+y)²-3(x+y+3)]=-(x+y)²+6(x+y+3)=-(x+y)²+6(x+y)+18
=-[(x+y)²-6(x+y)]+18=-[(x+y-3)²-9]+18=-(x+y-3)²+27≦27
即当x+y=3时x²+y²获得最大值27。

Answer 3

答案应该是27。
设u=x+y,
v=xy。
则(x+y)²-xy=3(x+y+3)，得v=u²-3u-9。
则x²+y²=(x+y)²-2xy=u²-2v=-u²+6u+18=-(u-3)²+27<=27。
取到27时，u=3，v=-9，由韦达定理代入方程z²-3z-9=0，容易求得x=3(1+√5)/2，y=3(1-√5)/2，确实也有实数解。
这种2次的x和y对称式的题目，上面是很典型的做法。