Question

设函数f(x)在[0,1]上可导,对于[0,1]上每一点x,都有0

Answer 1

令 F(x) = f(x) - x,F(0) > 0,F(1) 0,F(x)在[0,1]上可导=>连续,
故至少在(0,1)内有一点ξ,使得 F(ξ) = 0,即 f(ξ) = ξ.
下面用反证法证明 ξ 只有一个.
假设存在ξ1,ξ2∈(0,1) ,F(ξ1) =0,且 F(ξ2) = 0.
由罗尔中值定理,必存在 η ∈(ξ1,ξ2),F '(η) = f '(η) - 1 = 0
=> f '(η) = 1 这与 f(x)的导数不为1 矛盾,假设错误.
因此在(0,1)内有唯一点,使得 f(ξ) = ξ.