Question

求∫x^2/(π√(1-x^2))dx 的积分,

Answer 1

∫ x^2/(π√(1-x^2)) dx
提取常数：
=(1/π)(∫ x^2/√(1-x^2) dx)
代入x=sin(u)和dx=cos(u) du,然后√(1-x^2)=√(1-sin^2(u))=cos(u)且u=sin^(-1)(x)：
=(1/π)(∫ sin^2(u) du)
将sin^2(u)写作1/2-1/2 cos(2u)：
=(1/π)(∫ (1/2-1/2 cos(2u)) du
将每一项进行积分并提取常数：
=(1/π)(∫ 1/2 du-1/(2π)∫ cos(2u) du
代入s=2u以及ds=2du：
=(1/π)(∫ 1/2 du-1/(4π)∫ cos(s) ds
cos(s)的积分是sin(s)：
=(1/π)(∫ 1/2 du-(sin(s))/(4π)
1/2的积分是u/2：
=u/(2π)-(sin(s))/(4π)+c
代入回s=2u：
=(u-sin(u) cos(u))/(2π)+c
代入回u=sin^(-1)(x)：
=(sin^(-1)(x)-x√(1-x^2))/(2π)+c
最后得出：∫x^2/(π√(1-x^2))dx=(sin^(-1)(x)-x√(1-x^2))/(2π)+c