MATLAB求画出函数f(x)=ln(x+(1+x^2)^1/2)在区间【-3，3】上的图像 求程
MATLAB求画出函数f(x)=ln(x+(1+x^2)^1/2)在区间【-3，3】上的图像 求程
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x=linspace(-3,3,1000)
f=log(x+(1+x.^2).^1/2);
plot(x,f)
已知函数f(x)=1/2(1+x)^2-ln(1+x)，求f(x)单调区间
f'(x)=x+1-1/(x+1)=x(x-2)/(x+1)
当-1<x<0时，f'(x)>0，f(x)递增；当0<x<2时，f'(x)<0，f(x)递减；当x>2时，f'(x)>0，f(x)递增。
所以，函数f(x)的单调递增区间是(-1,0)和(2,+无穷)，单调递减区间是(0,2)。
已知函数f(x)=1/2x^2+lnx.求证:在区间【1,+∞】上,f(x)的图像在g(x)=2/3x^3的图像
已知函数f(x)=1/2x^2+lnx.求证:在区间[1,+∞]上,f(x)的图像在g(x)=2/3x^3的图像的下方。
【解】设h(x)= f(x)- g(x)= 1/2x^2+lnx-2/3x^3，
h′(x)=x+1/x-2x²=(x²+1-2x³)/x=[( x²- x³)+(1- x³)]/x
=[ x² ( 1- x)+(1- x)(1+x+ x²)]/x
=( 1- x) (2x²+x+1) /x
在区间[1,+∞]上, h′(x)= ( 1- x) (2x²+x+1) /x<0,
函数单调递减，最大值是h(1)= 1/2+ln1-2/3= 1/2-2/3=-1/6<0.
∴h(x)= f(x)- g(x)≤h(1) <0. f(x) ≤g(x)
即在区间[1,+∞]上,f(x)的图像在g(x)=2/3x^3的图像的下方。
设函数f（x）=x^2+2x-2ln(1+x) 1 求函数f（x）的单调区间 2 当x∈【1/e-
1、f(x)=x^2+2x-2ln(1+x)
f'(x)=2x+2-2/(1+x)
=2(x+1-1/(1+x)
=2(x^2+2x)/(x+1)
=2x(x+2)/(x+1)
单增：f'(x)>0
2x(x+2)/(x+1)>0
单增区间：-2<x<-1或者x>0
单减区间：x<-2或者-1<x<0
2、x∈[1/e-1,e-1]
∵-1<1/e-1<0，e-1>0
∴f(x)在[1/e-1,e-1]的最小值为：f(x)min=f(0)=-2ln(0+1)=0
最大值为：f(x)max=f(e-1)
=(e-1)^2+2(e-1)-2ln(1+e-1)
=(e-1)^2+2(e-1)-2
=(e-1+1)^2-3
=e^2-3
0=<f(x)<=e^2-3
m<f(x)<=-m^2+2m+e^2
m<0
-m^2+2m+e^2=e^2-3
m^2-2m-3=0
(m-3)(m+1)=0
m=3>0(舍去)
m=-1
求证：在区间（1，+无穷）上，函数f(x)=1/2x^2+lnx的图像总在函数g(x)=2/3x^3的下方
g(x)-f(x)
=(2/3)x^3-(1/2)x^2-lnx
求导后得
=2x^2-x-(1/x)
=x(2x-1)-(1/x)
因为范围是(1,+无穷)，所以2x-1>1，x>1，所以x(2x-1)>1，又因为(1/x)<1，所以这个导数>0，所以g(x)-f(x)单调增。
g(1)-f(1)=2/3-1/2>0
所以在(1,+无穷),f(x)<g(x)，所以得证f(x)图形在g(x)的下方
证明f(x)=ln[x+(1+x^2)^1/2]在区间(-∞,+∞)内是单调增加函数
f(x)求导
{1/[x+(1+x^2)^1/2] } * (1+x/(1+x^2)^1/2)
=1/(1+x^2)^1/2 >0 x属于(-∞,+∞)
所以f(x)=ln[x+(1+x^2)^1/2]在区间(-∞,+∞)内是单调增加函数
已知函数f(x)=(1+x)^2-ln(1+x)^2 (1)求函数f(x)的单调区间 （2）若函数f(x)与函数g(x)=x^2+x+a在区间[0,2]
给你分析：1）f(x)的定义域为(-oo,-1)U(-1,+oo),求导f'(x)=2(x+1)-2/(x+1)=2x(x+2)/(x+1),由f'(x)>0,得-2<x<-1,f'(x)<0,得x<-2或-1<x<0,所以f(x)的单增区间为(-2,-1)和(0,+oo)，单减区间为(-oo,-2)和(-1,0)。2）问题等价于方程f(x)=g(x)在[0,2]上有两异根,整理得:x-a+1-ln(1+x)^2=0,在[0,2]上有两异根，记h(x)=x-a+1-ln(1+x)^2,则h'(x)=1-2/(x+1)=(x-1)/(x+1),由h'(x)>0得x<-1或x>1,由h'(x)<0得-1<x<1,所以h(x)在[0,1]递减，在[1,2]上递增。于是f(x)=g(x),即h(x)=0在[0,2]上恰有两异根得：h(0)=1-a>=0,h(1)=2-a-2ln2<0,h(2)=3-a-2ln3>=0,解得2-2ln2<a<=3-2ln3，即为所求结果。不明白请加qq522597089
函数f(x)=x+1/x在区间[1/3,3]上的值域
f'(x)=1-1/x^2=(x^2-1)/x^2
令f'(x)>0得1<x<3
令f'(x)<0得1/3<x<1
所以f(x)在区间[1/3,1]减，在区间[1,3]上增
f(1)=2,f(3)=10/3,f(1/3)=10/3
所以值域为[2,10/3]
高二数学 求函数f(x)=ln(1+x)-1/4^x^2在区间{0,2}上的最值
求导 x=1导数为0
最大值为In2-1/4
设函数f(x)=(1+x)^2-ln(1+x)^2,求f(x)的单调区间
[-2,-1)∪[0,+∞)
设g(x)=x-lnx
求导g'(x)=1-1/x
令g'(x)=0得x=1
所以x=1时，g(x)有最小值
因为g(x)中，x∈(0,+∞]所以x∈(0,1]单调减，x∈[1,+∞)单调增
设f(x)=g[h(x)],其中h(x)=(1+x)^2
h(x)中，x∈(-∞,-1]单调减，x∈[-1,+∞)单调增
当h(x)∈(0,1]时，x∈[-2,-1)∪(-1,0], 这时，g(x)为减，只有当h(x)为减, f(x)才为增；所以x∈[-2,-1)
当h(x)∈[1,+∞)时，x∈(-∞,-2]∪[0,+∞),这时，g(x)为增,
只有当h(x)为增, f(x)才为增；所以x∈[0,+∞)
综上，x∈[-2,-1)∪[0,+∞)时，f(x)为增函数
