Question

介值定理证明拉格朗日中值定理的点是一个吗

Answer 1

不是一个点。

拉格朗日中值定理是微分相关的定理，本题中不牵涉到微分，只提到连续，并不明确是否可导。
因此不能用拉格朗日中值定理
看到连续，一般考虑介值定理（或其特殊情况：零值定理）
证明：
令g(x)=c1·f(x1)+c2·f(x2)-(c1+c2)·f(x)
则g(x)亦在闭区间[a,b]上连续
g(x1)=c1·f(x1)+c2·f(x2)-(c1+c2)·f(x1)=c2·[f(x2)-f(x1)]
g(x2)=c1·f(x1)+c2·f(x2)-(c1+c2)·f(x2)=c1·[f(x1)-f(x2)]
∵c1,c2为任意正常数，即c1>0, c2>0
∴g(x1)和g(x2)异号
由零值定理知，在[a,b]内至少有一点d,使g(d)=0
即c1·f(x1)+c2·f(x2)-(c1+c2)·f(d)=0
c1·f(x1)+c2·f(x2)=(c1+c2)·f(d)
证毕

Answer 2

介值定理证明拉格朗日中值定理的点是一个，因为它们的满足条件是一样，所以是一个点