Question

三棱锥的外接球半径怎么求？

Answer 1

正三棱锥的外接球半径求法：

设A－BCD是正三棱锥，侧棱长为a,底面边长为b，则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上。

设高为AM，连接DM交BC于E，连接AE，然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O，则0就是外接球的球心，AO，DO是外接球的半径。

（当三棱锥的侧棱与它的对面所成的线面角小于90度时，即角DAE小于90度时，球心在棱锥的内部；当线面角等于90度时，球心恰好在底面正三角形的中心M上；当线面角大于90度时，球心在棱锥的外部，在棱锥高AM的延长线。下面我给出的解法是第一种情况，球心在棱锥的内部。另两种情况你自己可以照理推出。）

设AO＝DO＝R

则，DM＝2/3DE＝2/3*2分之根号3倍的b=b/根号3

AM＝根号（a^2-b^2/3)

OM=AM-A0=根号（a^2-b^2/3)-R

由DO＾2＝OM＾2＋DM＾2得

R＝根号3倍的a^2÷2倍的根号（3a^2-b^2)

内切球半径用等体积法，连接内切球球心和棱锥各顶点分割成若干三棱锥，则每个三棱锥体积为1/3底面积×R，全棱锥体积为1/3全面积×R；外接球则先考查任一侧面的三点外心的法线；对于特殊棱锥考虑补形为长方体之类的。

拓展资料：

三棱锥锥体的一种，几何体，由四个三角形组成。固定底面时有一个顶点，不固定底面时有四个顶点。外接球，意指一个空间几何图形的外接球，对于旋转体和多面体，外接球有不同的定义，广义理解为球将几何体包围，且几何体的顶点和弧面在此球上。

一些不规则的立体图形的外接球确实不好做，一是球心难找，球心找不到半径更找不到，找到了外接球的圆心和求得半径，就是这类题目的突破点。要牢记性质：球心与任一截面圆心的连线垂直于截面。反之，任一截面通过圆心的垂线穿过球心。

参考资料：

百度百科——三棱锥

Answer 2

三棱锥的外接球半径可以通过如下方法求径：
首先将三棱锥放置在坐标系中，并将其顶点作为原点，其底面中心为 C。这样可以确定出 OC 的长度为 r，也就是外接球的半径。
然后，将三棱锥旋转后，让其底面对准坐标轴，此时 OC 依然是外接球的半径，而且可以使用坐标轴上的点来表示三棱锥的顶点的位置。
如果将三棱锥的底面分成三角形，则可以确定出三角形的顶点坐标，并使用勾股定理来求出三角形的斜边长度。
最后，将斜边长度代入勾股定理，并求出 r 的值即可。
具体的，假设三棱锥的底面是一个正三角形，顶点坐标分别为（±a，0，0）和（0，±b，0），则三角形的斜边长度为 c=sqrt(a^2+b^2)，r 的值就是 OC 的长度，也就是 r=sqrt(c^2+h^2)，其中 h 是三棱锥的顶点到底面的距离。