Question

关于对数的导数与积分问题，请高手指点，我百思不得其解啊

(lnu)'=1/u这个大家都知道，是基本的求导公式。但是求不定积分时∫(1/u)du=ln|u|,我想问的是为什么后面的那个u需要加绝对值呢？真数部分大于0，所以前面的那个式子右面的1/u肯定是正数，因为u是大于0的。那岂不是只有当u>1时公式(lnu)'=1/u才适用了？

Answer 1

其实呢，这个是数学公式的扯淡。
我以前也说过很多次，积分和微分的时候不考虑定义域的。所以∫(1/u)du=ln|u|，实际上是一种扯淡的做法。如果按照这种方法来做题目，很多题目是没有办法做的
比如y=(x-1)(x-2)
对它求导，我们是不是有一种方法叫对数求导法？
两边取对数得
lny=ln[(x-1)(x-2)]=ln(x-1)+ln(x-2)
两边再求导……
实际上，能不能这样做啊，你看到了吗？
y=(x-1)(x-2)的定义域是R

而lny=ln[(x-1)(x-2)]=ln(x-1)+ln(x-2)的定义域是x>2
因此，那个地方加个绝对值完全是扯淡。不能说它错误了，只是说，我们在平时做题目的时候，没有必要加这个绝对值。

Answer 2

1/u的定义域是R\{0}，即u可以是负的。为了应付这种情况，所以积分的公式里要加绝对值。其实严格来说这个公式是不对的，应该是∫du/u= lnu+C1 (u>0); ln(-u)+C2 (u<0)。

后面什么u>1没看懂你在说什么。。。。。。

Answer 3

难道你忘了lnu的定义域是u>0吗？但是1/u的定义域是u≠0，所以1/u的定义域比lnu大，多了u<0这块区域。但是这块区域的1/u也要求导数啊。

追问

还有，这是一个悖论啊，1/u不可能为负数啊，因为(lnu)'的结果只可能为正数，请考虑lnu的图像，(lnu)'代表的是其图像的斜率，而其图像是个单调递增函数，也就是说其值只可能为正值啊

追答

你的错误就在于没有区分相同函数形式，但是定义域不同，是不同的函数。
例如1/u（u∈R）和1/u（u＞0）是两个不同的函数。
(lnu)'是1/u（u＞0）。
但是现在题目需要你求1/u（u∈R）这个函数的积分。你总不能说1/u（u＜0）这部分没积分吧？大家完全可以用1/u（u＜0）=-1/（-u）（-u＞0）然后用积分公式去求1/u（u＜0）这部分的积分啊。

追问

谢谢你，你说的很有道理，不过很抱歉，先前把积分给了上面的网友，但还是很感谢你的热心回答。这里，我只想对你说一句：好人一声平安！

Answer 4

难道你忘了lnu的定义域是u>0吗？但是1/u的定义域是u≠0，所以1/u的定义域比lnu大，多了u