Question

关于高数洛必达法则的问题

洛必达法则是用于0/0或者是∞/∞的函数极限的法则，根据它的证明过程，如果一个函数是0/0或者是∞/∞的，且他的极限存在，那么他的分子分母分别求导以后相比的比值的极限也应该存在，但是对于函数（X+cosX）/X来说就不是这样，当X趋近于无穷大时，他本身极限是1，但是他的分子分母导数之比当X趋近于无穷大时，却是没有极限的，这是不是互相矛盾？（本人高一，我只是刚刚学到洛必达法则，太深奥的解释也看不懂）

Answer 1

在洛必达法则的三条件中，你的这个例子不是不满足第三条（因为它极限等于1确实存在），而是不满足第二条，因为当x趋于无穷时，分子的导数=1-sinx的极限不存在，即分子的导数不存在，所以不能用洛必达法则。但你要明确洛必达只是求极限的方法之一，这题虽然不能用洛必达求极限，但可以用其它方法，不是不能用洛必达的极限就不存在。

Answer 2

罗必达法则须满足三个原则才能应用：
比如这里的∞/∞型：
1）分子，分母都趋于无穷
2）分子，分母的导数都存在
3）分子的导数/分母的导数存在
满足这三点，才可应用罗必达法则，这样lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x)
你所举的例子不满足第3个条件，所以不能这样应用罗必达法则。

Answer 3

“如果一个函数是0/0或者是∞/∞的，且他的极限存在，那么他的分子分母分别求导以后相比的比值的极限也应该存在”
上面的话是不对的。

教材中关于罗比达的定理是这样的
定理 若函数f(x),g(x)满足：
1）f(x)-->0,g(x)-->0 （或者f(x)-->∞, g(x)-->∞）
2) f(x) 与g(x)可导，且g'(x)不为零，
3) lim f'(x)/g'(x)存在(或为无穷)
则有lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x).

你举出的例子正好不满足第3个条件。

不满足上面定理条件的不定式是不能用罗比达法则的.

追问

这句话对于0/0一定是对的，因为罗比达法则的证明是用柯西中值定理来证的，[f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]=f'(k)/g'(k)其中a就是x所趋近的那个值，且k在x和a之间，所以对于任意x都有f(x)/g(x)=f'(k)/g'(k)，当x趋近于a时，k也趋近于a，所以就证明出来了，而这个证明过程也说明了如果左式的极限存在，右式的极限一定存在，但是为什么这句话对于∞/∞就不成立呢

追答

那句话对0/0型的不定式也是不对的. 看下面的例子：

更正一下求导后应该是+sin(1/x).

这个例子还是因为不满足第三个条件. 

Answer 4

你再看看洛必达法则的叙述吧。没记错的话，它是说如果：(1)limf(x)/g(x)是0/0或者∞/∞；(2)g(x)≠0；(3)（重点）广义极限f'(x)/g'(x)存在，那么limf(x)/g(x)=limf'(x)/g'(x)。你的例子里广义极限f'(x)/g'(x)不存在，所以就不能用洛必达法则。

Answer 5

罗规则，应满足三个原则可以应用于：
这里∞/∞型：
1）分子，分母趋于无穷大
2）衍生的分子分母
3 ），衍生工具的分子/分母衍生的存在
符合前三点劳氏规则，林函数f（x）/ G（X）= LIM F'（x）/ G'（X）
例如，你提到不符合这三个条件，也不是那么罗的规则。