Question

求[(sinx)^cosx]的导数如何运算?

Answer 1

解：
令y=[(sinx)^cosx]，当x属于第一、二象限时：
lny=(cosx)lnsinx
上式两边对x求导，则：
y'/y =(cosx)'lnsinx+(cosx)(lnsinx)'
=-sinxlnsinx+(cosx/sinx)(sinx)‘
=-sinxlnsinx+cos²x/sinx
∴y'=(-sinxlnsinx+cos²x/sinx)[(sinx)^cosx]
当x属于第三、四象限时：
[(sinx)^cosx] = (-1)^(cosx){[sin(-x)]^cosx}，(-1)^(cosx)不能确定，也就是说函数：

y=[(sinx)^cosx]不连续，不存在导数

Answer 2

f(x)=(sinx)^cosx=e^(cosxlnsinx)
所以f'(x)=e^(cosxlnsinx)*(-sinxlnsinx+cosx*cosx/sinx)=(sinx)^cosx*((cosx)^2/sinx-sinxlnsinx)

Answer 3

设y=(sinx)^cosx
lny=cosx* lnsinx
(lny)'=(cosx *lnsinx)'
1/y*y'=( -sinx *lnsinx+cosx *1/sinx *cosx)
y'=y*( -sinx *lnsinx+cos²x/sinx)
y'=(sinx)^cosx *(cos²x/sinx-sinx *lnsinx)

Answer 4