Question

已知定义域为R的函数f(x)＝−2x+b2x+1+a是奇函数．？

Answer 1

解题思路：（I）利用奇函数定义f（x）=-f（x），根据f（0）=0，f（-1）=-f（1），构造方程组，解方程组可求a，b的值；
（II）由已知中函数的解析式，分析出函数的单调性，结合（I）中函数的奇偶性，可将不等式f（5-2x）+f（3x+1）＜0化为x的一次不等式，进而得到答案．
（I）∵函数f(x)＝
−2x+b
2x+1+a是奇函数
∴f（0）=0，f（1）=-f（-1），
即

b−1
a+2＝0

b−2
a+4＝−
b−
1
2
a+1
解得a=2，b=1
（II）由（I）得f(x)＝
−2x+1
2x+1+2=−
1
2+
1
2x+1
∵y=2x为增函数，
∴y=2x+1为增函数，
∴y=
1
2x+1为减函数，
∴函数f（x）为减函数
若f（5-2x）+f（3x+1）＜0
则f（5-2x）＜-f（3x+1）=f（-3x-1）
则5-2x＞-3x-1
解得x＞-6
,7,已知定义域为R的函数 f(x)＝ − 2 x +b 2 x+1 +a 是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）解不等式f（5-2x）+f（3x+1）＜0．