Question

有一个自然数它与168的和恰好等于某个数的平方，它与100的和恰好等于另一个数的平方。这个数是多少？

Answer 1

设所求的数为n，由题意，得：
n + 168 = a^2……(1)
n + 100 = b^2……(2)

(1)式减去(2)式得
68 = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

由于68 = 1 * 68 = 2 * 34 = 4 * 17，只有三种分解方式，所以只有
i) a + b = 68, a - b = 1
或
ii) a + b = 34, a - b = 2
或
iii) a + b = 17, a - b = 4
这三种情况。
对情况i)，a与b没有整数解，排除；
对情况ii)，算出a = 18, b = 16，所以
n = 18^2 - 168 = 16^2 - 100 = 156；
对情况iii)，a与b没有整数解，排除。

综上，只有唯一解，即n = 156。即为所求的数。

Answer 2

解：设那个自然数为X,设某个数为Y,设另一个数为Z。按照题意可列方程为：
X+168=Y^2 (1)
X+100=Z^2 (2)
（1）-（2）为Y^2-Z^2=68，
即（Y+Z)(Y-Z)=68，
68可分解为4X17及2X34。前者不能满足(Y+Z)=17,(Y-Z)=4，舍去。
后者，满足(Y+Z)(Y-Z)=34X2=68要求。
∴Y=18,Z=16.
供你参考。