Question

已知{an}是等差数列，当m+n=p+q时，是否一定有am+an=ap+aq?(求过程）

Answer 1

an=a1+(n-1)d

am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d
=2a1+(m+n-2)d

同理，
ap+aq=2a1+(p-q-2)d
2a1+(m+n-2)d=2a1+(p-q-2)d
(m+n)d-2d=(p-q)-2d
m+n=p-q
所以，当m+n=p+q时，一定有am+an=ap+aq

Answer 2

am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+（m+n-2）d
ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+（p+q-2）d

因为m+n=p+q，所以显然相等

Answer 3

am+an＝a1+﹙m-1﹚d+a1+﹙n-1﹚d＝2a1+﹙m+n-2﹚b＝2a1+﹙p+q-2﹚d＝a1+﹙p-1﹚d+a1+﹙q-1﹚d＝ap+aq

Answer 4

证明：已知｛An｝是等差数列，则设首项为a1,公差为d.
等式右边：Am+An=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d;
同理可推出左边：Ap+Aq=2a1+(p+q-2)d;
又m+n=p+q;a1,d均为常数， 故右边=左边，题设成立。

Answer 5

这是恒等的