Question

已知函数f(x)=alnx-1/x,若曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值？

a<0时，为什么f'(x)>0？和a≥0一样推出f'(x)>0,为什么下一步推出：x<-1/a？

Answer 1

解有直线x+2y=0的斜率为-1/2
则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线的斜率为2
即y=f(x)在点（1，f(1)）处的导数为2，即f′（1）=2
由f(x)=alnx-1/x
即f′(x)=（alnx-1/x）′=a*1/x-（-1/x²）=a/x+1/x²
即f′（1）=a/1+1/1²=a+1=2
即a=1
由1知f′（x）=1/x+1/x²（x＞0） 原函数的定义域与导函数一致
即由x＞0，即f′（x）=1/x+1/x²＞0
即y=f(x)在x＞0是增函数
即函数f(x)的单调增区间（0.正无穷大）

Answer 2

由题意得：f'(1)=2
f'(x)=a/x+1/x²
f'(1)=a+1=2
得：a=1

第二问和第一问不联系吧，
f(x)的定义域为x>0
f‘(x)=a/x+1/x²=(ax+1)/x²
（1）a≧0时，f'(x)>0，所以，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)；
（2）a<0时，f'(x)>0，得：x<-1/a；f'(x)<0，得：x>-1/a
所以，f(x)的递增区间为(0,-1/a)，递减区间为(-1/a,+∞)

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O