Question

怎么用不动点法求数列通项

Answer 1

当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了x=(ax+b)/(cx+d)
令 ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d)

若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=(a-cx1)/(a-cx2)

简单地说就是在递推中令an=x 代入
a(n+1)也等于x
然后构造数列.