Question

已知四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，∠BAD+∠BCD=π，则四边形ABCD的面积

Answer 1

连接BD，则四边形被分成△ABD和△CBD
在△ABD中，由余弦定理，得BD²=AB²+AD²-2*AB*AD*cosA=20-16cosA
同理，在△ABD中，由余弦定理，得BD²=CB²+CD²-2*CB*CD*cosC=52-48cosC
又∠A+∠C=180°，所以cosA=﹣cosC
所以20-16cosA=BD²=52-48cosC=52+48cosA
cosA=﹣1/2，所以sinA=√3/2，推出sinC=√3/2
所以S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=(AB*AC*sinA+CB*CD*sinC)/2
=(2*4*√3/2+6*4*√3/2)/2=8√3

Answer 2

解：由∠BAD+∠BCD=π得∠BAD=π-∠BCD
即cos∠BAD=-cos∠BCD
由余弦定理得
cos∠BAD=(2^2+4^2-BD^2)/(2*2*4)=(20-BD^2)/16
cos∠BCD=（6^2+4^2-BD^2)/(2*6*4)=(52-BD^2)/48
所((20-BD^2)/16=-(52-BD^2)/48
解得：BD=sqr(28)
于是cos∠BAD=（20-28)/16=-1/2 所以∠BAD=120度
cos∠BCD=(52-28)/48=1/2 所以∠BCD=60度
于是四边形ABCD的面积=S三角形ABD+S三角形CBD=(1/2)*2*4*sin120+(1/2)*6*4sin60=8sqr(3)

Answer 3

连接BD
cosA=(AD^2+AB^2-BD^2)/2AB*AD
=(16+4-BD^2)/2*2*4

cosC=(CD^2+CB^2-BD^2)/2*CD*CB
=(16+36-BD^2)/2*4*6

cosC=cos(π-A)=-cosA

-(16+4-BD^2)/2*2*4=(16+36-BD^2)/2*4*6
BD^2=28
cosA=(16+4-BD^2)/2*2*4=-1/2
sinA=√3/2
cosC=(16+36-BD^2)/2*4*6=1/2
sinC=√3/2
四边形ABCD的面积 =Sabd+Scbd=(AB*AD*sinA)/2+(CB*CD*sinC)/2
=2*4*(√3/2)/2+6*4*(√3/2)/2
=8√3