极坐标中,表达式p=2a*cosx,用积分求该曲线所围成图形的面积。计算时积分的上下限怎么确定?
极坐标中,表达式p=2a*cosx,用积分求该曲线所围成图形的面积。计算时积分的上下限怎么确定?(不想化成直角坐标系用圆的面积做)这种题极坐标的上下限都不会求…麻烦讲解一...
极坐标中,表达式p=2a*cosx,用积分求该曲线所围成图形的面积。计算时积分的上下限怎么确定?(不想化成直角坐标系用圆的面积做) 这种题极坐标的上下限都不会求…麻烦讲解一下… 谢谢啦!
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其实化为直角坐标方程是最好找出θ的范围的
不过经过画图后依然能确定θ的范围,为- π/2→π/2
极坐标下的图形面积公式A = ∫(a→b) (1/2)r^2 dθ
所求面积 = ∫(- π/2→π/2) (1/2)ρ^2 dθ,被积函数为偶函数
= 2∫(0→π/2) (1/2)(2acosθ)^2 dθ
= 4a^2∫(0→π/2) (cosθ)^2 dθ
= 4a^2∫(0→π/2) (1 + cos2θ)/2 dθ
= 2a^2[θ + (1/2)sin2θ] |(0→π/2)
= 2a^2(π/2)
= πa^2
不过经过画图后依然能确定θ的范围,为- π/2→π/2
极坐标下的图形面积公式A = ∫(a→b) (1/2)r^2 dθ
所求面积 = ∫(- π/2→π/2) (1/2)ρ^2 dθ,被积函数为偶函数
= 2∫(0→π/2) (1/2)(2acosθ)^2 dθ
= 4a^2∫(0→π/2) (cosθ)^2 dθ
= 4a^2∫(0→π/2) (1 + cos2θ)/2 dθ
= 2a^2[θ + (1/2)sin2θ] |(0→π/2)
= 2a^2(π/2)
= πa^2
追问
请问化为直角坐标方程后是如何不画图确定角度范围的?
上下限不会找!
麻烦详细解释一下好么,谢谢!
追答
r = 2acosθ
r² = 2a * rcosθ
x² + y² = 2a * x
x² - 2ax + a² + y² = a²
(x - a)² + y² = a²
可见圆心在x轴上,而且半径正好等于圆心的x坐标
所以圆形关于x轴对称且经过原点,于是能确定θ的范围是- π/2到π/2了
这个方程的角度范围算是好找了,如果是心形,星形,叶片或者重叠图形那些真要画图了...
角度范围就是解方程比较好找,那是针对重叠图形的方法
东莞大凡
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