Question

2013天津初中数学竞赛最后一道解答题！求高人解答

a,b,c为正整数，c为不完全平方数，I a-b I=24,根号a+根号b=根号c，求a+b+c=?
最好能给出详细解答过程，谢谢。

Answer 1

设c = z²d, 其中z, d为正整数, d > 1且不含平方因子(c不是完全平方数).

由√a+√b = √c得√a = √c-√b, 平方得a = c+b-2√(bc).
可得2√(bc)为整数, 故4bc = 4z²bd为完全平方数, 于是bd为完全平方数.
而d不含平方因子, 可得d | b, 且b/d为完全平方数, 可设b = y²d, y是正整数.
同理, 由√b = √c-√a平方得4ac为完全平方数, 最后可得a = x²d, x是正整数.
代回√a+√b = √c得x+y = z.

不妨设a > b, 于是a-b = |a-b| = 24, 代入得(x²-y²)d = 24.
d是24的约数, d > 1且不含平方因子, 于是d = 2, 3, 6.
若d = 2, (x+y)(x-y) = 12, 有1组正整数解x = 4, y = 2.
代回得a = 32, b = 8, c = 72, a+b+c = 112.
若d = 3, (x+y)(x-y) = 8, 有1组正整数解x = 3, y = 1.
代回得a = 27, b = 3, c = 48, a+b+c = 78.
若d = 6, (x+y)(x-y) = 4, 无正整数解, 舍去.

综上a+b+c = 112或78.

Answer 2

很久不碰初等数学了，这里提供一个最笨的方法，不好请见谅

Answer 3

a=3 b=27 c=48 a+b+c=78

追问

怎么求出来的？可以告诉我过程吗？