Question

利用导数的定义，求函数y=1/x^2+2在点x=1处的导数

要详细的解答过程！

Answer 1

解：在 x=1+dx 出
y=1/（x+dx）^2+2
dy/dx =[1/（x+dx）^2+2 -1/x^2+2]/dx
=[1/（x+dx）^2 -1/x^2]/dx
=[(x^2-(x+dx)^2/（x+dx）^2 / x^2]/dx
={[x^2-x^2-2x dx-（dx）^2]/（x+dx）^2 / x^2}/dx
={[-2x dx -（dx）^2]/（x+dx）^2 / x^2}/dx
当dx 无穷小时
因为 （dx)^2相对于 2xdx 为 无穷小， 所以 (-2x dx -（dx）^2≈2x dx
同样 x+dx ≈x
dy/dx =(-2x dx)/x^2 / x^2}/dx
=(-2dx)/x^3/dx
= -2/x^3

也可以 把dx 用一个无穷小δ 来代替。同样可以求解

Answer 2

在 x=1+dx 出
y=1/（x+dx）^2+2
dy/dx =[1/（x+dx）^2+2 -1/x^2+2]/dx
=[1/（x+dx）^2 -1/x^2]/dx
=[(x^2-(x+dx)^2/（x+dx）^2 / x^2]/dx
={[x^2-x^2-2x dx-（dx）^2]/（x+dx）^2 / x^2}/dx
={[-2x dx -（dx）^2]/（x+dx）^2 / x^2}/dx
当dx 无穷小时
因为 （dx)^2相对于 2xdx 为 无穷小， 所以 (-2x dx -（dx）^2≈2x dx
同样 x+dx ≈x
dy/dx =(-2x dx)/x^2 / x^2}/dx
=(-2dx)/x^3/dx
= -2/x^3