Question

在三角形ABC中 角A 角B 角C所对的边分别为a b c 且1+tanA/tanB=2c/b 若BC 中点为D

在三角形ABC中 角A 角B 角C所对的边分别为a b c 且1+tanA/tanB=2c/b 若BC 中点为D 若a=根号3 求AD最大值

Answer 1

把tan都换成历仔sin/cos
1+ (sinAcosB)/(sinBcosA) =2c/b，两边同乘sinBcosA，同除c
sinC/c = 2* sinB/b *cosA
正弦定理，sinC/c = sinB/b
cosA=1/2
又cosA=(b^2+c^2-a^2) / (2bc) >= (2bc-a^2) / (2bc) = 1- a^2/(2bc)
1/2 >= 1 - a^2/(2bc)
得bc/a^2 <= 1由中线定理，AD^2=(2b^2+2c^2-a^2)/4=(2bc/a^2 + 1)/(4/a^2)≤9/4
∴AD≤3/2

即AD的最大肢伏汪值是:3/2
=========================================================================参考以下做法:
（1）
1+tanA/tanB
=1+(sinAcosB)/(cosAsinB)
=(sinAcosB+cosAsinB)/(cosAsinB)
=sin(A+B)/厅陆(cosAsinB)
=sinC/(cosAsinB)
根据正弦定理，sinC/sinB=c/b
c/(b*cosA)=2c/b
cosA=1/2
A=60度
（2）
AD^2+BD^2-2AD*BD*cosBDA=AB^2
AD^2+CD^2-2AD*CD*cosCDA=AC^2
两式相加
2AD^2+3/2=c^2+b^2
又：
c^2+b^2-2cb*cos60=a^2=3
c^2+b^2-cb=3
c^2+b^2-cb>=c^2+b^2-（c^2+b^2）/2
3>=（c^2+b^2）/2
c^2+b^2<=6
2AD^2+3/2<=6
AD^2<=9/4
AD<=3/2
最大值为3/2