Question

向量数量积的坐标运算

Answer 1

向量数量积的坐标运算：a·b=x1·x2+y1·y2。

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=（x1,y1），b=（x2,y2），则a·b=x1·x2+y1·y2。

向量数量积的坐标的几何意义：一个向量在另一个向量方向上的投影，设θ是a、b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投影。数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。 注意：两向量的数量积是数量，投影也是数量。射影是矢量。

向量数量积的性质：设a、b为非零向量，则

①设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a=a·e=|a||e|cosθ。

②a⊥b等价于a·b=0。

③当a与b同向时，a·b=|a||b|;当a与b反向时，a·b=-|a||b| ;a·a=|a|=a或|a|=√a·a。

④|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a与b共线时，即a∥b时等号成立。

⑤cosθ=a·b╱|a||b|（θ为向量a、b的夹角）。

⑥零向量与任意向量的数量积为0。

      

向量数量积的运算律：（1）交换律：a·b=b·a。

（2）数乘结合律：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）。