设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2,a属于R,其中e为自然对数的底数。
(1)若a=1/2,求f(x)的单调递增区间;(2)若当x>=0时,f(x)>=0恒成立,求实数a的取值范围...
(1)若a=1/2,求f(x)的单调递增区间;(2)若当x>=0时,f(x)>=0恒成立,求实数a的取值范围
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a=1/2,f(x)=x(e^x-1)-x^2/2,f'(x)=e^x-1+xe^x-x=(x+1)(e^x-1)
当x<-1时,x+1<0且e^x-1<0,f'(x)>0,f(x)递增。
当-1<x0时,x+1>0且e^x-1<0,f'(x)<0,f(x)递减。
当x>1时,x+1>0且e^x-1>0,f'(x)>0,f(x)递增。
所以,f(x)的单调递增区间是(-无穷,-1)和(0,+无穷),单调递减区间是(-1,0)
f(x)=x(e^x-1)-ax^2
f’(x)= e^x(x+1)-2ax-1
而f(0)=0 要使 f(x)>=在x>=0上恒成立
则 f’(x)>=0要恒成立
即 e^x(x+1)-2ax-1>=0
令g(x)= e^x(x+1)-2ax-1,即g(x)>=0
而g(0)=0,所以g’(x)>=0要恒成立
g’(x)= e^x*x+ e^x-2a>=0
∴a<= e^x(x+1)/2
令h(x)= e^x(x+1)/2
则h’(x)=(e^x*x+e^x)/2,
令h'(x)=0
得x=-1,可知x=-1为h(x)极小值点
而x>=0,
则h(x)最小值为h(0)=1/2
∴a<=1/2
当x<-1时,x+1<0且e^x-1<0,f'(x)>0,f(x)递增。
当-1<x0时,x+1>0且e^x-1<0,f'(x)<0,f(x)递减。
当x>1时,x+1>0且e^x-1>0,f'(x)>0,f(x)递增。
所以,f(x)的单调递增区间是(-无穷,-1)和(0,+无穷),单调递减区间是(-1,0)
f(x)=x(e^x-1)-ax^2
f’(x)= e^x(x+1)-2ax-1
而f(0)=0 要使 f(x)>=在x>=0上恒成立
则 f’(x)>=0要恒成立
即 e^x(x+1)-2ax-1>=0
令g(x)= e^x(x+1)-2ax-1,即g(x)>=0
而g(0)=0,所以g’(x)>=0要恒成立
g’(x)= e^x*x+ e^x-2a>=0
∴a<= e^x(x+1)/2
令h(x)= e^x(x+1)/2
则h’(x)=(e^x*x+e^x)/2,
令h'(x)=0
得x=-1,可知x=-1为h(x)极小值点
而x>=0,
则h(x)最小值为h(0)=1/2
∴a<=1/2
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(1)f'(x)=(1+x)(e^x-1),令f'(x)>0得:x<-1或x>0,故单调增区间为(-inf,-1),(0,+inf);
(2)a<=1
当x=0时,f(x)=0恒成立;
当x>0时,f(x)>=0等价于a<=(e^x-1)/x恒成立。令g(x)=(e^x-1)/x,对g(x)求两次导后易得g(x)单增,故a<=lim(x->0)g(x)=1。
(2)a<=1
当x=0时,f(x)=0恒成立;
当x>0时,f(x)>=0等价于a<=(e^x-1)/x恒成立。令g(x)=(e^x-1)/x,对g(x)求两次导后易得g(x)单增,故a<=lim(x->0)g(x)=1。
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F(X)的单调递增间隔:
[0,+∞)
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[0,+∞)
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