Question

asinα+bcosβ+csinγ=0 acosα+bsinβ+ccosγ=0

求sin(α+β)、cos（α-γ）

Answer 1

因为：a*sinα+b*cosβ+c*sinγ=0
所以：asinα+bcosβ=-csinγ

所以：（asinα+bcosβ）^2=c^2*sin^2 γ
a^2sin^2 α+2absinαcosβ+b^2cos^2 β=c^2*sin^2 γ (1)

因为：a*cosα+b*sinβ+c*cosγ=0
所以：acosα+bsinβ=-ccosγ

所以：（acosα+bsinβ）^2=c^2*cos^2 γ
所以：a^2cos^2 α+2abcosαsinβ+b^2sin^2 β=c^2*cos^2 γ (2)

(1)+(2):
[a^2(sin^2 α+cos^2 α)]+[b^2(sin^2 β+cos^2 β)]+2ab(sinαcosβ+cosαsinβ)]=c^2(sin^2 γ+cos^2 γ)
(a^2+b^2)+2absin(α+β)=c^2
所以: sin(α+β)=(c^2-a^2-b^2)/2ab

同理：
由asinα+bcosβ+csinγ=0
asinα+csinγ=-bcosβ
（asinα+csinγ）^2=b^2cos^2β (3)

acosα+bsinβ+ccosγ=0

acosα+ccosγ=-bsinβ

(acosα+ccosγ)^2=b^2sin^2β (4)

(3)+(4)整理得:
(a^2+c^2)+2accos(α-γ)=b^2
cos(α-γ)=(b^2-a^2-c^2)/2ac