Question

已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C的对边分别a,b,c.且（a^2+b^2-c^2)sinC=

（根号3）abcosC（1）、求角C（2）、若C=1，求a+b的取值范围

Answer 1

第一个问题：
∵（a^2＋b^2－c^2）sinC＝√3abcosC，
∴［（a^2＋b^2－c^2）/（2ab）］sinC＝（√3/2）cosC，∴cosCsinC＝（√3/2）cosC，
∴sinC＝√3/2，又△ABC是锐角三角形，∴C＝60°。

第二个问题：
∵（a^2＋b^2－c^2）sinC＝√3abcosC、c＝1、C＝60°，
∴（a^2＋b^2－1）sin60°＝√3abcos60°，
∴［（a＋b）^2－2ab－1］×（√3/2）＝√3ab×（1/2），∴（a＋b）^2－2ab－1＝ab，
∴4（a＋b）^2－12ab＝4。······①
显然有：2√（ab）≦a＋b，∴4ab≦（a＋b）^2，∴12ab≦3（a＋b）^2。······②
①＋②，得：4（a＋b）^2≦4＋3（a＋b）^2，∴（a＋b）^2≦4，∴0＜a＋b≦2。
∴（a＋b）的取值范围是（0，2］。

Answer 2

解：由a^2 b^2-c^2=2ab cosC 带入原式得2ab sinCcosC=根号3ab cosC即2sin=根号3又锐角三角形中0<C<派/2所以C=60（2）