Question

高三一道数学题目，最后一道压轴大题

给定椭圆C x²/a²+y²/b²=1 （a大于b大于0) 称圆心在坐标原点0，半径为根号下a²+b² 是的圆是椭圆C的伴随圆，若椭圆C的一个焦点为F2（根号2,0）在其短轴上的一个端点到F2距离为根号3.
1.求椭圆C及其伴随圆方程（我已经求出来了 C：x²/3+y²=1 伴随圆x²+y²=4)
2.若过点P（0，m） （m＜0） 的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的伴随圆所得的弦长为2根号2 求m的值
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Answer 1

给定椭圆C x²/a²+y²/b²=1 （a>b>0) 称圆心在坐标原点0，半径为√(a²+b² )的圆是椭圆C的伴随圆，若椭圆C的一个焦点为F₂(√2，0）在其短轴上的一个端点到F₂距离为√3；
1.求椭圆C及其伴随圆方程（我已经求出来了 C：x²/3+y²=1 伴随圆x²+y²=4)
2.若过点P(0，m)（m＜0） 的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的伴随圆所得的弦长为
2√2 求m的值
解：(1).由题意可知：c=√2，a=√3，故b²=1，于是得椭圆方程为x²/3+y²=1..........(1)；
伴随园方程为x²+y²=4；
(2)设过点P(0，m)的直线方程为y=kx+m，(m<0)，代入椭圆方程(1)得：
x²+3(kx+m)²-3=(1+3k²)x²+6kmx+3m²-3=0
因为该直线与椭圆只有一个交点，故其判别式
△=36k²m²-12(1+3k²)(m²-1)=12(3k²-m²+1)=0，即有3k²-m²+1=0..........(2)
伴随园园心到该直线的距离d²=园半径的平方－弦长之半的平方=4-2=2，即d=√2，故有等式：
∣m∣/√(1+k²)=√2，即有m²=2(1+k²)，故得k²=(m²/2)-1=(m²-2)/2.........(3)
将(3)代入(2)式得(3/2)(m²-2)-m²+1=(1/2)m²-2=0，m²=4，故得m=-2.

Answer 2

个你一个提示：该直线与椭圆相切，x为二共轭根，y为二等根，
与圆相交的两点到m点的距离之差为2根号2。