Question

一些正方形内接于一些同心圆，如图所示。已知最小的圆的半径为1cm，请问阴影部分之面积为多少平方厘米？

一些正方形内接于一些同心圆，如图所示。已知最小的圆的半径为1cm，请问阴影部分之面积为多少平方厘米？（π取七分之二十二）

Answer 1

一些正方形内接于一些同心圆，如图所示。已知最小的圆的半径为1cm，请问阴影部分之面积为多少平方厘米？（π取七分之二十二）

解：设三个圆从外到内半径分别是R1、R2、R3，三个正方形从外到内变长分别为a1、a2、a3
因R3=1,
∴a3=√2

∴a2=2

∴R2=√2

∴a1=2√2

∴R1=2

∴阴影部分的面积

=【πR₁²－a₁²】＋【πR₂²－a₂²】+【πR₃²－a₃²】
=【π×2²－﹙2√2﹚²】＋【π×﹙√2﹚²－2²】+【π×1²－﹙√2﹚²】
=【π×2²+π×﹙√2﹚²+π×1²】－【﹙2√2﹚²+2²+﹙√2﹚²】
=7π－14

Answer 2

圆与内接正方形的面积差位π*r^2-2r^2=8/7*r^2
从内到外 圆的半径依次为r，√2r，2r
所以阴影部分面积为8/7*1^2 + 8/7*2 + 8/7*4=8cm^2

Answer 3

解：设三个圆从外到内半径分别是R1、R2、R3，三个正方形从外到内变长分别为a1、a2、a3
因R3=1,
∴a3=√2

∴a2=2

∴R2=√2

∴a1=2√2

∴R1=2

∴阴影部分的面积

=【πR₁²－a₁²】＋【πR₂²－a₂²】+【πR₃²－a₃²】
=【π×2²－﹙2√2﹚²】＋【π×﹙√2﹚²－2²】+【π×1²－﹙√2﹚²】
=【π×2²+π×﹙√2﹚²+π×1²】－【﹙2√2﹚²+2²+﹙√2﹚²】
=7π－14

Answer 4

一楼回答的很好。或者说简洁的太过了，似乎不太容易理解啦。
其实【相似形的面积比等于相似比的平方】。
再不然，总共三个大圆减去三个小正方形。一步一步算，也行。（靠得住。就是不太“技巧”）。