Question

求高数大神帮我解答这两道关于向量的题目

Answer 1

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a·b=|a|*|b|*cos(π/6)=sqrt(3)*sqrt(3)/2=3/2，|a+b|^2=(a+b)·(a+b)=|a|^2+|b|^2+2a·b=4+3=7
故：|a+b|=sqrt(7)，|a-b|^2=(a-b)·(a-b)=|a|^2+|b|^2-2a·b=4-3=1，故：|a-b|=1
因：(a+b)·(a-b)=|a|^2-|b|^2=3-1=2，又：(a+b)·(a-b)=|a+b|*|a-b|*cos<a+b,a-b>
故：cos<a+b,a-b>=(a+b)·(a-b)/(|a+b|*|a-b|)=2/(7*1)=2/7，故：<a+b,a-b>=arccos(2/7)
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这样的题很少见，用内积可以做，但要用到导数，这就不是向量的题目，明显就是函数题。
算了，帮你做一下吧：
a·b=(2,-1,-2)·(1,1,z)=1-2z=|a|*|b|*cos<a,b>=3sqrt(z^2+2)cos<a,b>，令：t=cos<a,b>
则：t=(1-2z)/(3sqrt(z^2+2))，t'=(-6sqrt(z^2+2)+3z*(2z-1)/sqrt(z^2+2))/(9(z^2+2))
=-3(z+4)/(9(z^2+2)^(3/2))，可以看出，t'的分母恒大于0，当z=-4时，t'=0
当z<-4时，分子：-3(z+4)>0，即：t'>0，当z>-4时，-3(z+4)<0，即：t'<0
所以当：z∈(-inf,-4]时，t是增函数，当z∈[-4,+inf)时，t是减函数，当然函数还有一条
渐近线，与本题关系不大，就不说了。所以当z=-4时，t取得最大值：(1+8)/(3*sqrt(18))
=sqrt(2)/2，故cos<a,b>的最大值是sqrt(2)/2，即：<a,b>的最小值是π/4

Answer 2

这两个问题都是考查数量积的定义，只要代到数量积公式中就可以看出来！！