Question

问一道数学题，急用！！！！ 已知函数f(x)=ax+(1-x)/ax(a＞0),1.判断在区间（0,+∞）的单调性；2.当0＜x

≤1时，设f(x)的最小值为g(a)，求y=g(a)的解析式。 高手快来！！！

Answer 1

f(x)=ax+(1-x)/(ax)=ax+1/(ax)-1/a

a>0,x>0时，f(x)>=2√[(ax)*1/(ax)]-1/a=2-1/a
当且仅当(ax)=1/(ax)，即x=1/a时=号成立，此时f(x)为极小值
所以：x>=1/a,f(x)单调递增；
0<x<1/a,f(x)单调递减。

承上一小题：当a>=1时，即1/a<=1，有g(a)=2-1/a

当0<a<1时，0<x<=1时x的取值范围全在递减区间内，所以g(a)=f(1)=a

追问

第二问为什么要讨论a的范围？

追答

画个草图，红线是x=1/a,如果它在区间(0,1]内，最小值就是f(1/a)=2-1/2

如果它在区间(0,1]右侧，则最小值是f(1)。  所以必须要讨论