Question

求一个旋转体体积（定积分）

摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,y=0,绕直线y=2a

我是画不出图形。。。根本做不出来。。。有哪位大神能做出来，写下过程好吗？
非常感谢！！！

Answer 1

旋转轴 y=2a 正好位于摆线顶端，旋转体体积：V=∫π[4a²-(2a-y)²]dx，x积分区间是一个拱圈[0,2πa]；
以参数方程表示，V=8π²a³-∫π(2a-a+acost)²*a(1-cost)dt，t=[0,2π]；
V=8π²a³-πa³∫(1+cost)²(1-cost)dt=8π²a³-πa³∫(1+cost)sin²t dt
=8π²a³-πa³∫sin²t dt=8π²a³-πa³∫(1-cos2t)dt/2=8π²a³-πa³/2；

追问

怎么知道是拱圈呢？请问一下您是怎么知道这个图像的？

追答

由参数方程知，y 的取值范围[0,2a] ；

当从 t=0 开始记，第一个周期（即摆线第一拱）0≤t≤2π，即 0≤x≤2πa（对应y：0≤y≤2a）；

至于函数图像，可查阅标准摆线方程图；