Question

拉格朗日中值定理e的x方大于 ex

问一个很简单简单的题目。。
用拉格朗日中值定理证明
e的x方 大于 ex
我知道很简单可是我不会 求指点

Answer 1

解答：
令f（x）＝e∧x－ex.
f'（x）＝e∧x－e.
由拉格朗日中值定理可知，
存在ξ∈（1，x），
使得f（x）－f（1）＝f'（ξ）（x－1）
即：e∧x－ex＝（e∧ξ－e）（x－1）
我觉得题目少了x＞1这个条件，否则无法做下去！
∵x＞1，∴e∧x＞e，
∴e∧x－ex＝（e∧x－e）（x－1）＞0
∴e∧x＞ex.

但愿能帮到你！

追问

我同学说要考虑x小于1这个条件
请问 x<1 能做出来吗

追答

x＜1则刚好相反！你设ξ∈（x，1），仿照我上面写的就可以知道此时e∧x＜ex，或者不用拉格朗日也很容易知道x＜1时e∧x是小于ex的！x＜1，则f'（x）＜0，所以f（x）递减，又f（1）＝0，所以f（x）＝e∧x－ex＜f（1）＝0，所以e∧x＜ex.