Question

求数列极限的方法

Answer 1

求数列极限方法如下：

1、用夹逼准则求解数列极限夹逼定理是数列极限中非常重要的一种方法, 也是容易出综合题的点, 夹逼定理的核心就是如何对数列进行合理的放缩, 这个点也是夹逼定理使用过程中的难点。

适用情形：夹逼定理一般使用在 n 项和式极限中, 函数不易于连续化。夹逼定理的适用情形和用定积分的定义十分相似，需要注意区分，它们的区别是夹逼定理适用的情形是一个分子分母齐次的形式。

放缩基本公式:

2.、用单调有界准则求极限

定理: 单调有界数列必有极限.具体来说,若数列 {xn} 单调增加 (减少)且有上(下) 界M(m) , 则 limn→∞xn 存在，且  limn→∞xn⩽M (或 limn→∞xn⩾m ). 定理同样适用于函数.

这个定理是证明数列 (或函数) 极限存在的唯一依据, 一般分为两个步骤, 第一 步证明单调性, 第二步证明有界。

3、用数列定义求解数列极限

主要运用数列的 ε−N 定义: 对 ∀ε>0,∃N>0 , 使得当 n>N 时, 有 |an−a|<ε , 则称数列 {an} 收敛, 定数a 称为 {an} 的极限。

从定义上来看，我们的 ε 是可以任意小的正数, 那 ε/2,3ε 也可以任意小, 这一 点大家要明确。其次, 我们的  N 具有相应性, 一般地, N 随着 ε 的变小而增 大, 也就是 N 依赖于 ε0

从几何意义上来讲, 当我的  n 逐渐趋近于无穷时, 我的数列总围绕着 a 在波动, 也就是 对 ∀ε>0, 在我们的 U(a;ε) 领域内有无穷个数。这样就得到了一个 关于数列极限的一 个等价定义: 对 ∀ε>0 , 若在 U(a;ε) 之外数列 an 至多有有限项，那么数列 an 必定收敛于 a 。