Question

如何证明平行轴定理？

Answer 1

推导平行轴定理的方法
方法一
刚体对任意轴的转动惯量，等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，再加上刚体质量与两轴之间距离平方的乘积，此为平行轴定理.关于此定理的验证，采用三线摆和刚体转动实验仪来验证.在这里利用复摆验证平行轴定理的方法.
一 实验方法及公式推导
一个围绕定轴摆动的刚体就是复摆，当摆动的振幅甚小时，其振动周期 T 为
式中J为复摆对以O 为轴转动时的转动惯量，m 为复摆的质量，g 为当地的重力加速度，h 为摆的支点O 到摆的质心 G 的距离. 又设复摆对通过质心 G 平行O 轴的轴转动时的转动惯量为 JG，根据平行轴定理得:
而JG又可写成 JG= m k 2,k 就是复摆的回转半径，由此可将⑴式改成为
整理⑶式得：
当 h= h1 时，I1= JG + mh12，式中h1为支点O1到摆的质心G的距离，J1是以O1为轴时的转动惯量.同理有：
⑷- ⑸得：
上式反映出转轴位置对转动的影响，也是对平行轴定理的检验.在⑹式中令 y= T2h- T12h1,x = h2-h12，则⑹式变为
从测量可得出 n 组（x,y) 值，用最小二乘法求出拟合直线y= a+ bx及相关系数r，若r接近于1，说明x与y二者线性相关，平行轴定理得到验证； 或作T2h- T12h1对h2-h12图线，若到检验为一直线，平行轴定理亦得.

方法二
测量举例
1） 测量步骤
a. 测定重心 G 的位置 SG
将复摆水平放在支架的刀刃上，利用杠杆原理寻找 G 点的位置.
b. 量出各支点对应的 h 值.
c. 测出复摆绕各支点摆动的周期 T 摆角小于 （5°改变支点 10 次).
2） 数据记录
各支点对应的 h 值及周期T见表1.
3） 数据处理
取 h1= 6 cm,T1= 1.51 s，根据测量数据可得出10组（x,y）值，见表2
根据最小二乘法求出参数 a,b，得出
a= 21×10-2 cm ·s 2,Sa = 18×1010-2 cm s 2
b= 0. 0411s 2 ·cm-1,Sb = 0. 0005 s 2 ·cm-1
r= 0. 999375
在此实验中，误差的主要来源是偶然误差，所以只计算A 类标准不确定度作为总的不确定度，略去B 类不确定度.结果 a,b 的不确定度为：
u(a) = 18×10-2 cm ·s 2
u (b) = 0. 0005 s 2 ·cm-1
平行轴定理
最后结果为：
a= （21±18） ×10-2 cm ·s 2
b= 0. 0411±0. 0005 s 2 ·cm-1
r= 0. 999375
从最后结果可以看出，x 与 y 二者完全线性相关，平行轴定理得到验证.