Question

一道高中数学题

若点P,Q分别在函数y=e^x和函数y=lnx的图象上，则P,Q两点间的距离的最小值是? 要过程，谢谢

Answer 1

由于y=e^x和y=lnx互为反函数，图像关于y=x对称．
分别求出两个函数平行于直线y=x的切线，则两切线间的距离就是P,Q两点间的距离的最小值．
对y=e^x求导，得y'=e^x，由于切线的斜率为1，从而　y'=e^x=1，x=0，
即切点为(0,1)，切线方程为　y=x+1，即x-y+1=0
同理，可求得y=lnx的切线为　x-y-1=0
两条切线间的距离为d=|1+1|/√2=√2．
即P,Q两点间的距离的最小值是√2

Answer 2

函数y=e^x和函数y=lnx，互为反函数。所以图像关于直线y=x对称。所以，我们只要从直线y=x上找一点P，使得P（x,x) 到函数y=e^x曲线的距离最近，就可以了。
或者让斜率为1的直线与指数曲线相切，就可以求出平行直线间的距离，再乘以2.就是答案了。
若用直接求导，可令导函数=1，即（e^x)′＝1,（就是曲线切线的斜率为1），,∴e^x＝1.我们得到x=0,所以两个最近的点就有了：一个是（0,1）。一个是（1,0）。距离就是根号2.

Answer 3

注意两个函数互为反函数，所以关于y=x对称。PQ最小值所取点即为y=x+C和函数只有一个交点。C=1，PQ为（0，1）和（1，0），最小值是根号2

Answer 4

若点P,Q分别在函数y=e^x和函数y=lnx的图象上，则P,Q两点间的距离的最小值是?
解：令y'=e^x=1，得x=0，即过P(0，1)切线平行于直线y=x；
再令y'=1/x=1，得x=1，即过Q(1，0)的切线平行于直线y=x；
那么这两点的距离d=√2就时PQ间的最小距离。

Answer 5

∵函数y=e^x和函数y=lnx的图象关于直线y=x对称
∴函数y=e^x或函数y=lnx上的点到直线y=x的最小距离即为所求的1/2
设P(x,e^x),则P到直线y=x距离为：f(x)=(e^x-x)/√2
f'(x)=(e^x-1)/√2
当x＜0时，f'(x)＜0，当x=0时，f'(x)=0，当x＞0时，f'(x)＞0
∴f(x)min=f(0)=√2/2
∴P,Q两点间的距离的最小值是√2