Question

函数f(x)在R内可导，且f`(0)=2,对任意的实数x,y ,若f(x+y)=f(x)f(y)成立， 求f(0).

Answer 1

令y=x，得
f(2x)=f²(x)
对x求导，得
f'(2x)·(2x)'=2f(x)·f'(x)
即f'(2x)=f(x)·f'(x)
令x=0，得
f'(0)=f(0)·f'(0)
因为f'(0)=2≠0
从而 f(0)=1　

追问

能否构造一个这样的函数出来？
我想用特殊性解，但想不出来，麻烦你啦。先谢啦！

追答

当然．令f(x)=e^(2x)就行．

Answer 2

f(x+y)=f(x)f(y)
f'(x+y)=f'(x)f(y)+f(x)f'(y)
当x=y=0时
2=2f(0)+2f(0)
f(0)=1/2