Question

已知f(x)是周期为5的连续函数。。它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)

已知f(x)是周期为5的连续函数。。它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x) 且f(x)在x=1处可导。。求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程。

Answer 1

因为f(x)是连续函数，且f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)
所以当x→0时，f(1+sinx)=f(1-sinx)=f(1)=8*0+0=0
在f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)的两边同时除以sinx后取极限
lim[x→0] [f(1+sinx)-3f(1-sinx)]/sinx = lim[x→0] 8x/sinx = 8*lim[x→0] x/sinx = 8
所以lim[x→0] [f(1+sinx)-3f(1-sinx)]/sinx = 8
lim[x→0] [f(1+sinx)-f(1)]/sinx - 3*lim[x→0] [f(1-sinx)-f(1)]/sinx = 8
lim[x→0] [f(1+sinx)-f(1)]/[(1+sinx)-1] + 3*lim[x→0] [f(1)-f(1-sinx)]/[1-(1-sinx)] = 8
由于f(x)在x=1处可导，则根据导数的定义得f'(1)+3f'(1)=8
所以f'(1)=2
因为f(x)是周期为5的连续函数，则f(6)=f(1+5)=f(1)=0，f'(6)=f'(1+5)=f'(1)=2
所以曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线过点(6,0)且斜率为2
所以曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程为y=2(x-6)，化为一般式为2x-y-12=0

Answer 2

解答：f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)中由于f(x)是连续函数，
因此当x→0时有f(1+sinx)=f(1-sinx)=f(1) 有
f(1) =0
由f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+ o(x) 两边同时除以sinx
在x→0时有lim (f(1+sinx)-3f(1-sinx))/sinx=lim 8x/sinx
x→0 x/sinx=1 则
lim (f(1+sinx)-3f(1-sinx))/sinx=8
lim (f(1+sinx)-f(1))/sinx-3(f(1-sinx)-f(1))/sinx=8
由于f(1)的导数存在，则f'(1)=-2
f(x)是周期为5的连续函数，则f(1)=f(1+5)=f(6)，则f(6)=0
f'(1)=f'(6)=-2
则在y=f(x)在点（6，f（6））处的切线方程为y=-2x+12

追问

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追答

不愿打字，你不就是要解答过程吗？复制跟我自己写对你来说都一样！你到底是想知道怎么做题还是想试探一下网友的人品？如果其中解题步骤有不懂的，我也可以给你讲解。

追问

都一样么，你有认真看题吗，你复制的是错的你不知道么，f（1）的导数是2不是-2，