Question

2求函数 f(z)=1/(2-1)(z-3) 在下列圆环域内的洛朗展式.-|||-(1) 0<|z

Answer 1

根据洛朗展式的定义，我们需要将函数 f(z) 写成以下形式的级数：
f(z) = ∑[n=-∞]^∞ c_n (z-z_0)^n
其中 c_n 是展开系数，z_0 是展开点。对于给定的函数 f(z) = 1/((2-1)(z-3)) = 1/(z-3)，它在圆环域 |z| > 3 内解析，因此我们可以以 z_0 = 3 为展开点进行洛朗展开。由于展开点是一阶极点，我们将使用主部来表示展开系数。具体来说，我们有：
f(z) = 1/(z-3) = -(1/3)/(1-(z/3))
根据几何级数的公式，我们有：
1/(1-(z/3)) = ∑[n=0]^∞ (z/3)^n
将上述级数代入上式，我们得到：
f(z) = -(1/3) ∑[n=0]^∞ (z/3)^n
因此，函数 f(z) 的洛朗展开式为：
f(z) = ∑[n=-∞]^∞ c_n (z-3)^n = ∑[n=1]^∞ (-1/3) (z-3)^(-n)
其中 c_n = 0（n = 0），c_n = (-1/3)（n ≥ 1）。注意到展开系数 c_n 仅在 n ≥ 1 时非零，因此洛朗展开式仅包含负幂项，其余系数均为零。此外，展开半径为圆环域的内半径 r = 3，外半径为 ∞。