Question

f(x,y)=1+3∫∫f(x,y)dxdy,D:x²+y²≤4,则f(x,y)等于？

Answer 1

答案为：f(x,y)=1+12π.
计算公式：f(x,y)=1+3∫-2∫-√2f(x,y)dydx
原理解释：变量y的方程为y=√(4-x^2),∫-2∫-√2f(x,y)dydx 的积分结果等于曲面 D:x²+y²≤4 的表面积 S = ∫-2∫-√2dydx = 4π，故有f(x,y)=1+12π.

Answer 2

因为等式右侧无论f是啥结果都是常数，所以f(x,y)是常函数
设f(x,y)=c带入得到
c=1+3∫∫cdxdy = 1+3 * c * pi * 2^2 =1+12pi c
f(x,y)=c=1/(1-12pi)