Question

如何利用微积分证明函数f(x)= sinx

Answer 1

要证明函数 $f(x)=\sin x$，可以使用微积分中极限的概念和三角函数的性质。
首先，我们知道 $\sin' x = \cos x$，也就是说 $\dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x$。这个结论可以通过导数定义和三角函数的三角恒等式来证明，但这里不再赘述。
接下来，我们可以证明 $\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x} = 1$。证明的过程如下：
$$\begin{aligned}& \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}\\ =& \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin \Delta x - 0}{\Delta x - 0} & \text{(将分母约掉)}\\ =& \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin \Delta x - \sin 0}{\Delta x - 0} & \text{(根据三角函数的性质)}\\ =& \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin (\Delta x/2) \cos (\Delta x/2)}{\Delta x/2} & \text{(将差化积)}\\ =& \lim_{\Delta x \to 0} \cos (\Delta x/2) & \text{(将分子化简)}\\ =& 1 & \text{(当 }\Delta x \to 0\text{ 时, }\cos (\Delta x/2) \to 1\text{)}.\end{aligned}$$
因此，我们证明了 $\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x} = 1$。这个结论表明了当 $\Delta x$ 趋近于 $0$ 时，函数 $\sin x$ 的变化率趋向于 $1$，也就是说 $\sin x$ 的斜率为 $1$。
综上所述，通过微积分的极限概念和三角函数的性质，可以证明函数 $f(x)=\sin x$。

Answer 2

sinx = x -(1/6)x^3 +o(x^4)
cos(sinx)

= cos[x -(1/6)x^3 +o(x^4)]
= 1 - (1/2)[x -(1/6)x^3]^2 + (1/24)[x -(1/6)x^3]^4 +o(x^4)
= 1 - (1/2)[x^2 -(1/3)x^4 +o(x^4)]+ (1/24)[x^4+o(x^4)] +o(x^4)
=1- (1/2)x^2 + ( 1/6 +1/24) x^4 +o(x^4)
=1- (1/2)x^2 + (5/24) x^4 +o(x^4)