Question

设正整数m，n满足m＜n且（1/m²＋m）＋{1/（m²+1）+m+1}+……+（1/n²+n）=1

设正整数m，n满足m＜n且（1/m²＋m）＋{1/（m²+1）+m+1}+……+（1/n²+n）=1/23求m+n的值

Answer 1

（1/m²＋m）＋{1/（m²+1）+m+1}+……+（1/n²+n）

= 1/m -1/m+1 + 1/m+1 - 1/m+2 + .....+ 1/n -1/n+1
= 1/m -1/n+1

1/m -1/n+1 = 1/23
所以 1/m > 1/23, 即m<23
1/m -1/n+1 = 1/23 整形得

1/m = 1/23 +1/n+1 = (n+1 +23)/23(n+1)
m = 23(n+1) /(n+1 +23)
因为m<23， 右端系数23必须被约分
故设n+1 = 23*k ，k为整数，得
m = 23 * 23k /23(k+1) = 23k/(k+1)　
k, (k+1) 互质

所以(k+1)含有因子23
所以k+1 = 23
m=k =22是解
当k+1 >23时， 23k/(k+1)>22
由m是正整数, 且m<23， 知只有一个解m=22
n = 23*k -1 = 23+22-1　 = 505

m+n = 22 +505 = 527