Question

无穷积分∫(1→+∞)1/x^p dx 收敛，则实数p的取值范围为？？？ 要详细过程！！

Answer 1

经典问题! 分p < 1，p = 1和p > 1讨论。
∫ 1/x^p dx = ∫ x^(- p) dx = x^(1 - p)/(1 - p)

当p < 1
由于1 - p > 0，为正次方
lim(x→+∞) x^(1 - p)/(1 - p) → +∞
所以结果 → +∞

当p = 1，结果为
∫(1→+∞) 1/x dx = ln(x) |(1→+∞) = ln(+∞) → +∞，很显然不存在

当p > 1
由于1 - p < 0，为负次方，设1 - p = - n，n > 0
所以结果x^(1 - p)/(1 - p) |(1→+∞)
= lim(x→+∞) 1/[(1 - p)x^n] - 1/(1 - p)
= 0 - 1/(1 - p)
= 1/(p - 1)

所以当p > 1时积分才收敛。