Question

导数不存在的点为什么会改变函数的单调性？

Answer 1

函数的单调性表示函数在定义域上的增减性质。如果函数单调递增，那么当自变量增大时，函数值也随之增大；如果函数单调递减，那么当自变量增大时，函数值会随之减小。当函数的导数存在时，可以通过导数的正负号判断函数的单调性：如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减。
然而，当函数的导数不存在时，就不能通过导数的正负号来判断函数的单调性。在这种情况下，需要根据函数的局部性质来分析函数的单调性。如果函数在导数不存在的点的左侧是单调递增的，而在右侧是单调递减的，那么这个导数不存在的点就是函数的局部极大值点；如果函数在导数不存在的点的左侧是单调递减的，而在右侧是单调递增的，那么这个导数不存在的点就是函数的局部极小值点。这就是因为函数在这些点的附近发生了局部的转折，从而改变了函数的单调性。
例如，函数 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处的导数不存在。在 $x<0$ 的区间内，$f(x)$ 是单调递减的；在 $x>0$ 的区间内，$f(x)$ 是单调递增的。因此，$x=0$ 是函数 $f(x)$ 的一个局部极小值点。这个例子说明，导数不存在的点可以改变函数的局部单调性，从而影响函数的整体单调性。