Question

函数F(x)=x^2+3ax-2a+1/4在区间[0，1]上的最小值为0，求a的值

Answer 1

你好

f(0)=-2a+1/4=0
a=1/8
f(1)=1+3a-2a+1/4=a+5/4=0
a=5/4
f(x)=x^2+3ax-2a+1/4
=（x^2+3ax+9/4a^2）-9/4a^2-2a+1/4
=（x-3a/2）^2-9/4a^2-2a+1/4
当x=3a/2时，函数有最小值
-9/4a^2-2a+1/4=0
9a^2+8a-1=0
（9a-1）（a+1）=0
解得a=1/9，或者a=-1
当a=1/9时，函数对称轴x=3a/2=1/12在区间[0，1]上，是一个解
当a=-1时，函数对称轴x=3a/2=-3/2不在区间[0，1]上，说明最小值不在[0，1]上，故舍去
当a=1/8时，函数对称轴x=3a/2=3/16在区间[0，1]上，说明极值在对称轴上，不在端点帮舍去。
当a=5/4时，函数对称轴x=3a/2=15/8不在区间[0，1]上，说明端点就是极值点，a=5/4是一个解

所以a=1/9，或者a=5/4

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Answer 2

f(x)开口向上，对称轴为x=-3a/2
（1）-3a/2<0，即：a>0时，f(x)在[0,1]上递增，所以，f(x)min=f(0)=0，
即：-2a+1/4=0，得：a=1/8
（2）0≦-3a/2≦1，即：-2/3≦a≦0时，f(x)min=f(-3a/2)=0
即：-9a²/4-2a+1/4=0
9a²+8a-1=0
(9a-1)(a+1)=0
a1=1/9，a2=-1（均舍去）
（3）-3a/2>1，即：a<-2/3时，f(x)在[0,1]上递减，所以，f(x)min=f(1)=0
即：a+5/4=0，得：a=-5/4
综上，a的值为1/8或-5/4

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