Question

已知点P是平面直角坐标系xOy上一动点，｜OP｜＝2，点M（-1，0），则cos∠OPM的取值范围

Answer 1

∵OM²=PO²+PM²-2PO·PMcos∠OPM，OM=1，OP=2 （余弦定理）
∴cos∠OPM=(2²+PM²-1²)/(2×2×PM)
=(PM²+3)/(4PM)
=PM/4+3/PM
≥2√(PM/4×3/PM) 重要不等式a+b≥2√(ab) a≥0，b≥0
=2√(3/4)=√3/2
即cos∠OPM≥√3/2
显然当∠OPM=0º时，cos∠OPM有最大值1
所以√3/2≤cos∠OPM≤1

追问

能附上图吗？还有答案是[√2/2,1]

追答

ΔOPM的边长为OP=2，OM=1，PM是长度变化的边。
解的过程没有问题，答案应是[√2/2,1]

追问

打错了。。原来题目的|OP|=根号2

追答

那就改改：
∵OM²=PO²+PM²-2PO·PMcos∠OPM，OM=1，OP=√2 （余弦定理）
∴cos∠OPM=(√2²+PM²-1²)/(2×√2×PM)
=(PM²+1)/(2√2PM)
=PM/(2√2)+1/(2√2PM)
≥2√(PM/(2√2)×1/(2√2PM))
=2√(1/8)
=1/√2
=√2/2
即cos∠OPM≥√2/2
显然当∠OPM=0º时，cos∠OPM有最大值1
所以√2/2≤cos∠OPM≤1
这次对了。
请采纳

Answer 2

MO^2=MP^2+OP^2-2*MP*OP*cosOPM
1=MP^2+4-4MPcosOPM
MP^2-4cosOPM*MP+3=0
判别式=16(cosOPM)^2-12>=0
(cosOPM)^2>=3/4
cosOPM>=(根3)/2 或cosOPM<=-(根3)/2 （此时方程两根和为负，积为正，即两根都负，舍去。）
(根3)/2<=cosOPM<=1

Answer 3

是不是正弦定理？ 圆的半径定了。那个边长为一的边定了。求要求的角的范围只需要求剩下的角的范围？ 我是这么简单一想。楼主自己思考一下。