Question

高一数学。求解析

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Answer 1

在△ABC中，已知向量m=(cosB，cosC)；向量n=(2a+c，b)，且m⊥n；
(1)求角B的大小及y=sin²A+sin²C的取值范围；
(2)若b=√13，a+c=4，求△ABC的面积。
解：(1).∵m⊥n，∴m●n=(2a+c)cosB+bcosC=2acosB+ccosB+bcosC=2acosB+a=a(2cosB+1)=0
由于a≠0，故必有2cosB+1=0，即有cosB=-1/2，故B=180˚-60˚=120˚；A+C=60˚；C=60˚-A
y=sin²A+sin²C=sin²A+sin²(60˚-A)=sin²A+(sin60˚cosA-cos60˚sinA)²
=sin²A+(1/4)[(√3)cosA-sinA]²=sin²A+(1/4)[3cos²A-2(√3)sinAcosA+sin²A]
=sin²A+(1/4)[3-2(√3)sinAcosA-2sin²A]=(1/2)sin²A-(√3/2)sinAcosA+3/4
=(1/4)(1-cos2A)-(√3/4)sin2A+3/4=1-(1/2)[(1/2)cos2A+(√3/2)sin2A]
=1-(1/2)[cos2Acos60˚+sin2Asin60˚]=1-(1/2)cos(2A-60˚)
∵A=60˚-C，∴0˚<A<60˚，0˚<2A<120˚，-60˚<2A-60˚<60˚，∴1/2<cos(2A-60˚)≦1；
-1/2≦-(1/2)cos(2A-60˚)<-1/4；∴1/2≦1-(1/2)cos(2A+60˚)<3/4；即1/2≦y<3/4.
(2).由余弦定理得a²+c²-2accosB=a²+c²-2accos120˚=a²+c²+ac=(a+c)²-ac=16-ac=13
故ac=3，于是得△ABC的面积S=(1/2)acsinB=(1/2)×3sin120˚=(3/4)√3.