高一数学。求解析

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wjl371116
2013-03-05
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在△ABC中,已知向量m=(cosB,cosC);向量n=(2a+c,b),且m⊥n;
(1)求角B的大小及y=sin²A+sin²C的取值范围;
(2)若b=√13,a+c=4,求△ABC的面积。
解:(1).∵m⊥n,∴m●n=(2a+c)cosB+bcosC=2acosB+ccosB+bcosC=2acosB+a=a(2cosB+1)=0
由于a≠0,故必有2cosB+1=0,即有cosB=-1/2,故B=180˚-60˚=120˚;A+C=60˚;C=60˚-A
y=sin²A+sin²C=sin²A+sin²(60˚-A)=sin²A+(sin60˚cosA-cos60˚sinA)²
=sin²A+(1/4)[(√3)cosA-sinA]²=sin²A+(1/4)[3cos²A-2(√3)sinAcosA+sin²A]
=sin²A+(1/4)[3-2(√3)sinAcosA-2sin²A]=(1/2)sin²A-(√3/2)sinAcosA+3/4
=(1/4)(1-cos2A)-(√3/4)sin2A+3/4=1-(1/2)[(1/2)cos2A+(√3/2)sin2A]
=1-(1/2)[cos2Acos60˚+sin2Asin60˚]=1-(1/2)cos(2A-60˚)
∵A=60˚-C,∴0˚<A<60˚,0˚<2A<120˚,-60˚<2A-60˚<60˚,∴1/2<cos(2A-60˚)≦1;
-1/2≦-(1/2)cos(2A-60˚)<-1/4;∴1/2≦1-(1/2)cos(2A+60˚)<3/4;即1/2≦y<3/4.
(2).由余弦定理得a²+c²-2accosB=a²+c²-2accos120˚=a²+c²+ac=(a+c)²-ac=16-ac=13
故ac=3,于是得△ABC的面积S=(1/2)acsinB=(1/2)×3sin120˚=(3/4)√3.
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