Question

椭圆内三角形面积最大值

过原点的直线交椭圆与bc两点，a未椭圆内一定点，求三角形abc的最大值，要方法多谢

Answer 1

因为O是线段BC的中点，所以三角形ABC的面积等于三角形ABO面积的2倍，故求三角形ABC面积的最大值归结为求三角形ABO面积的最大值。

因为OA长为定值，所以求三角形ABO面积的最大值归结为求点B到直线OA距离的最大值，即最终问题归结为在椭圆上求一点，使其到直线AO距离有最大值。

不难知道，椭圆上到直线AO距离的最大的点为平行于直线AO且与椭圆相切的切线的切点（有两个，但距离是相等的）。
求切线问题，可设直线方程y=kx+m（其中k是直线AO的斜率，为已知量），然后与椭圆方程联立，利用根的判别式Delta=0求得m。
事实上，设椭圆方程为标准型：x^2/(a^2)+y^2/(b^2)=1，则m=正负根号下k^2*a^2+b^2.

求得m后，可利用平行线之间的距离公式求得距离。

下略。

追问

设题中直线的方法如何求解，如果好的话给加悬赏，大哥你数学怎么扩招思路理解的？求指点，怎么才能数学进步啊，给我点建议我把财富值全给你。。

追答

什么叫“设题中直线的方法如何求解”？我没明白你的意思，你稍微说清楚点吧。

追问

题中那个直线交椭圆两点，就是那个直线， 可以解么

追答

可以啊。
因为点A已知，即点A的坐标已知，所以直线AO的斜率可求，设为k。
于是我们可设与AO平行且与椭圆相切的直线方程为y=kx+m，其中，仅有m一个未知数。
而m的求解则可通过将直线方程y=kx+m与椭圆方程联立，消去y，则可得到一个关于x的一元二次方程，令其根的判别式Delta=0即可求得m的值。

追问

不是这个啦，是bc直线设出，怎么求解，大哥你说的好像不是一回事，我给您加赏顺便教教我怎么提高数学

追答

点B和C即为切点。
其求法是：
m求出后，再代回一元二次方程中即可求得x，再将求得的x代入y=kx+m又可求得y，
则求得的（x,y）即为B，C两点的坐标了。

Answer 2

应该是在过原点的直线为y轴时面积最大。因为点A为定点，三角形ABC的面积最大，即A到直线的距离最大，你可以设过原点的直线方程为y=kx后求点A到直线的距离，再与点A到y轴的距离即A的横坐标的绝对值比较。

追问

你忽略底的长度变化