Question

4.过点(1,2)作直线,使它与抛物线 y^2=4x 仅有一个公？

Answer 1

抛物线是正x型抛物线

(i)当直线与x轴平行时，将只有一个交点

由于直线过(1,2)，对应y=2

(ii)当直线与抛物线相切时，将只有一个公共点

解法一：

过点(1,2)的直线为y-2=k(x-1)

y=kx-k+2

将该式与抛物线联立

(kx-k+2)²=4x

k²x² +2(2-k)kx+(2-k)²-4x=0

k²x²+2(2k-k²-2)x+(2-k)²=0

只有一个交点，对应△=0

4(2k-k²-2)²-4k²(2-k)²=0

16k²+4k^4 +16 -16k³-32k+16k² -16k²+16k³-4k^4=0

16k²-32k+16=0

k²-2k+1=0

k=1

解法二：

注意(1,2)在抛物线上

也即在y=2√x上

y'=1/√x

当x=1时，k=y'=1

故，这条切线为y=x+1

综上所述，符合本题的直线为y=x+1或者y=2