Question

如何判断数列收敛

Answer 1

具体证明过程如下：

im (1+1/x)^x 

=lim e^[ ln ((1+1/x)^x)] 

= e^ lim [ x ln (1+1/x)]

x-->无穷大 1/x--> 0

此时，ln (1+1/x) = 1/x （等价无穷小）

lim [ x ln (1+1/x)] = x * 1/x = 1

原式= e^ 1 = e

数列极限

设 {Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，并记作，或Xn→a（n→∞）。

读作“当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于 或 趋于 a”。

若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列。